Chiaccerando con GPT4

Stupidaggini

\[z_{m+1} = (\sum_{i=0}^{m} z_i )- z_0 \]

Certamente! In questo caso, possiamo definire la sequenza in modo ricorsivo, dove il valore al tempo \(t_i\) è dato dalla somma degli elementi della sequenza al tempo \(t_{i-1}\) tranne il primo elemento. Possiamo rappresentare questa idea con la seguente equazione:

\[a_{i} = \sum_{j=2}^{n} a_{i-1,j-1}\]

dove \(a_{i,j}\) rappresenta l’\(j\)-esimo elemento della sequenza al tempo \(t_i\).

Iniziamo quindi definendo la sequenza iniziale \(a_1\) come:

# Definizione della sequenza iniziale
z <- c(3,6,7,9,2)

# Numero di elementi nella sequenza iniziale
n <- length(z)

# Numero di elementi da generare
m <- 10

# Creazione di un nuovo vettore che esclude il primo elemento della sequenza originale
z_new <- z[-1]

# Generazione dei m elementi successivi utilizzando l'equazione fornita
for (i in 1:m) {
  z_new[i] <- sum(z_new[(i-1):max(i-n,0)]) + z[n]
}

# Stampa della sequenza generata
cat("Sequenza generata:\n")

Sequenza generata:

cat(z_new, "\n")

2 4 8 16 32 64 126 248 488 960 

# Creazione del grafico della sequenza generata
plot(z_new, type = "l", xlab = "n", ylab = "z_n", main = "Successione")

Per calcolare la derivata numerica di una serie, possiamo utilizzare la formula di differenza finita:

\[f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{h}\]

dove \(h\) rappresenta l’intervallo tra due punti successivi della serie.

In questo caso, dato che abbiamo a disposizione solo la serie, possiamo approssimare \(h\) con la differenza tra due punti successivi. Quindi, la formula diventa:

\[f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{x_{i+1} - x_i}\]

Possiamo scrivere il programma in questo modo:

# Definiamo la serie
serie <- c(2, 4, 8, 16, 32)

# Inizializziamo il vettore delle derivate
derivate <- numeric(length(serie)-1)

# Calcoliamo le derivate
for (i in 1:(length(serie)-1)) {
  derivate[i] <- (serie[i+1] - serie[i])/(i+1 - i)
}

# Stampiamo le derivate
cat("Derivate calcolate:")

Derivate calcolate:

cat(derivate, "\n")

2 4 8 16 

# Creazione del grafico della sequenza generata
plot(derivate, type = "l", xlab = "n", ylab = "z_n", main = "Successione")

In questo esempio, abbiamo definito la serie serie e abbiamo inizializzato il vettore delle derivate derivate con la funzione numeric. Successivamente, abbiamo calcolato le derivate numeriche con un ciclo for che attraversa tutti gli elementi della serie (tranne l’ultimo) e applica la formula di differenza finita. Infine, abbiamo stampato le derivate con la funzione cat.